Это обстоятельство.

Корректно: сердце бьется вновь, а думал: нет его...

Правильно: скрепя сердце –  против воли, против своих убеждений, мужественно. Скрепя - то же, что скрепив. Оборот,  вероятно, связан с движением хватания себя за сердце при сильном седцебиении от волнения, то есть буквально: "скрепить сердце чем-нибудь" . Скрепить в этом выражении имеет внутреннюю форму "сделать крепким".

Поэтическое произведение Шиллера - ода "К радости".

Правильны оба варианта: сопричастность (к) чему?.

Я имею сердце – по-русски так не говорят. Правильно: У меня есть сердце.

Может быть, так: сердце птицы работает..?

Приложения, выраженные прозвищами или условными названиями, не согласуются с определяемыми словами, т. е. сохраняют начальную форму во всех падежах: о Ричарде Львиное Сердце.